Prelab
파동의 발생 및 전달
1. 실험 목적
연못의 중앙에 작은 돌멩이를 던지면, 중앙을 중심으로 하여금 원형의 파동이 생겨 주변으로 퍼져 나간다. 이와 비슷하게, 본 실험에서는 파동과 관련된 여러 이론을 실험을 통하여 검증한다. 파동이 벽에 부딪힐 때 발생하는 반사 현상과, 여러 개의 파동이 합쳐질 때 발생하는 간섭 현상, 좁은 틈의 장애물을 통과할 때 관찰되는 회전 현상 등을 직접 확인해보고자 한다.
2. 배경 지식
2-1. 파동
일반적으로, $x$축의 양의 방향으로 진행하는 파동은
\[y(x, t) = A \sin \left( kx - \omega t + \phi \right)\]과 같은 형태로 나타내며, $A$, $k$, $\omega$, $\phi$는 각각 진폭, 파수, 각진동수, 위상을 의미한다.
$f$의 진동수와 $\lambda$의 파장, $v$의 위상 속력을 가지는 파동에 대하여
\[\omega = 2 \pi f\] \[k = \frac{ 2 \pi }{ \lambda }\] \[v = \frac{x}{t} = \frac{\omega}{k} = f \lambda\]가 성립한다.
여러 개의 파동이 묶음의 형태로 이동하는 속도를 무리 속도라고 하며, 이는
\[v _g = \frac{ \mathrm{d} \omega }{ \mathrm{d} k } = v + k \frac{ \mathrm{d} v }{ \mathrm{d} k } = v - \lambda \frac{ \mathrm{d} v }{ \mathrm{d} \lambda }\]로 정의되어 사용된다. 위의 등식은
\[k \lambda = 2 \pi \Rightarrow k \mathrm{d} \lambda + \lambda \mathrm{d} k = 0\] \[\omega = k v\]에서 유도된다.
비분산매질은 $v$가 $k$, $\lambda$와 독립적인 매질을 의미하며, $v _g = v$가 성립한다는 특징이 있다. 비분산매질이 아닌 매질은 분산매질로, $v _g \ne v$가 성립한다.
2-2. 파동의 합성
동일한 $\omega$의 진동수를 가지나 위상이 다른, 두 개의 결맞는 파동을 생각하자:
\[y _1 (x, t) = A \sin \left( k x - \omega t \right)\] \[y _2 (x, t) = A \sin \left( kx - \omega t + \phi \right)\]이러한 두 파동을 합성하면
\[y(x, t) = 2 A \cos \frac{ \phi }{ 2 } \sin \left( kx - \omega t + \frac{ \phi }{ 2 } \right)\]가 된다. 여기서 파동의 진폭이 $2A$가 아닌 $\displaystyle 2 A \cos \frac{ \phi }{ 2 }$임에 유의하라.
비슷하게, 동일한 $\omega$의 진동수를 가지는, 반사된 파를 생각하자:
\[y _1 (x, t) = A \sin \left( kx - \omega t \right)\] \[y _2 (x, t) = A \sin \left( kx + \omega t \right)\] 이 두 파 사이의 간섭에 의한 합성 파동은
\[y(x, t) = 2A \cos \left( \omega t + \frac{ \phi }{ 2 } \right) \sin \left( kx + \frac{ \phi }{ 2 } \right)\]다. 이는 정상파로, 진행하지 않는 파동이다. $\displaystyle \left( kx + \frac{\phi}{2} \right)$가 $\pi$의 정수배가 되는 위치는 마디가 되며, $\displaystyle \left( kx + \frac{ \phi + \pi }{ 2 } \right)$가 $\pi$의 정수배가 되는 위치는 배가 된다.
2-3. 수면파
표면장력을 무시한, 이상적인 유체에서의 수면파의 위상 속력은
\[v = \sqrt{ \frac{ g \tanh \left( kh \right) }{ k } }\]임이 알려져 있다. 추가적으로 $h \ll \lambda$ 정도로 물이 아주 얕다면, $\tanh \left( kh \right) \approx kh$의 근사를 적용하여
\[v \approx \sqrt{ gh }\]로 생각하여도 무방하다.
역으로, $kh$가 충분히 크다면, $\tanh \left( kh \right) \approx 1$의 근사를 적용하여
\[v \approx \sqrt{ \frac{g}{k} }\]로 위상 속력을 근사할 수 있다.
유체와 공기 간의 표면장력 $\sigma$과, 유체의 밀도 $\rho$를 모두 고려한다면, 위상 속력은
\[v = \sqrt{ \left( \frac{g}{k} + \frac{\sigma}{\rho} k \right) \tanh \left( kh \right) }\]가 됨이 알려져 있다.
3. 실험 방법
두 종류의 실험을 진행하며, 각각 ①수면파의 속력 측정 및 간섭 관찰, ②수면파의 회절 관찰이 그 목적이다.
3-1. 실험 ① 수면파의 속력 및 간섭
물을 2/3 만큼 채운 수조의 수평을 맞춘 후, 수면파 발생 장치를 설치한다. 수조의 가장자리 네 면에 모두 스펀지를 설치하여, 파동 발생 시, 반사파가 생기지 않도록 한다. 두 개의 파원을 적절한 거리만큼 떨어뜨린 후, 짧은 시간동안 수면파를 발생시킨다. 수조 바닥에 흰 종이를 설치한 후, 파면을 카메라로 촬영한다. 이후, I-CA 프로그램을 이용하여 이를 분석한다: 선명한 간섭 무늬가 찍힌 프레임을 찾은 후, 보강 간섭 혹은 상쇄 간섭이 발생하는 부분을 이용하여 수면파의 파장을 알아낸다. 비슷한 방법으로, 수면파가 가장 선명하게 찍힌 프레임을 기준으로 몇 프레임 이동하여, 수면파의 속력을 계산한다.
이와 같은 과정을 다양한 진동수에 대하여 반복한다. 이후, 경로차는 항상 파장의 정수배라는 사실을 이용하여, 최대공약수를 적용하여 파장의 길이를 알아낸다.
3-2. 실험 ② 수면파의 회절 관찰
실험 ①의 수조에 추가적으로 아크릴 막대 혹은 반원형 통 등의 장애물을 설치한다. 이후, 수면파 발생기를 통하여 수면파를 만든 후, 장애물 주위의 파형의 변화를 카메라로 촬영한다.
이러한 과정을 다양한 장애물의 모양 및 개수, 위치, 배열, 수면파의 진동수 등에 대하여 반복한다.
3-3. 추가 실험
물의 표면장력은 물의 온도과 실험 환경에서의 공기 조건 등에 영향을 받는다. 데이터 분석을 진행하기 전에, 미리 물의 표면장력을 측정하는 실험을 진행하여, 배경 지식의 $\sigma$ 값을 정확하게 알아둔다면, 추후의 분석 과정에서 발생하는 오차를 줄일 수 있을 것이다.
수면파를 발생시킬 때, 다양한 진폭과 파장에대하여 반복 실험을 진행하여, 이러한 요소가 파동 양상에 어떠한 영향을 주는지 알아본다. 유체 역학의 복잡성 때문에, 위상 속력을 식으로 나타낼 때에는 근사가 필수적으로 적용되어야 한다. 그러나, 표면장력, 밀도, 물의 깊이, 파장 및 진폭 등의 크기 관계는, 식의 근사 적합도에 영향을 미친다.
수면파의 속력을 나타내는 식은 다양하다: $ f \lambda $, $\displaystyle \sqrt{ gh }$, $\displaystyle \sqrt{ \frac{g}{k} }$, $\displaystyle \sqrt{ \frac{g}{k} + \frac{\sigma}{\rho} k }$, $\displaystyle \sqrt{ \left( \frac{g}{k} + \frac{\sigma}{\rho} k \right) \tanh \left( kh \right) }$. 각 진폭 및 파장 초기 조건에 대하여, 어떤 식과 실제 측정 값이 가장 유사하였는지 비교하고, 이를 이론적으로 설명하는 시도는, 본 실험의 목적과도 잘 부합한다.
4. 실험 장비
3절에 서술한 세 종류의 실험을 진행하기 위하여, 다음의 장비가 필요하다. 물이 들어있는 수조, 수면파 발생 장치, 파동 발생 장치, 점 파원용 플라스틱 구슬, 스펀지, 장애물, 흰 종이, 스트로보스코프, 카메라, 스탠드, 플라스틱 비커, I-CA 프로그램 및 컴퓨터가 필요하다.
실험 과정에서 광원을 수조면과 서로 수직이 되도록 설치하여야 한다. 광원이 비스듬히 수조를 비춘다면, 흰 종이에 나타나는 그림자와 실제 파면의 위치 간의 오차가 발생할 수 있다.
파동을 발생할 때 적절한 주파수를 설정할 수 있도록 한다. 일반적으로 10~20Hz가 적당하다. 파동 발생기의 주파수 단위는 Hz인 반면에, 광원의 표기 단위는 RPM임에 유의하라.
파동 발생기 혹은 수면파 발생 장치를 과격하게 사용하여 수조의 파손이 일어나지 않도록 유의한다. 광원과 기기 등에 물이 튀지 않도록 전기 안전 사고에 주의한다.
보고서
파동 실험
파동의 발생 및 전달
Abstract
본 실험은 파장의 다양한 특징을 관찰하며, 파장과 관련된 다양한 이론을 검증한다. 두 개의 수면파를 발생시켜 파장의 간섭 현상을 관찰하였고, 간섭 위치와 파원 사이의 거리를 측정함으로써, 수면파의 파장 및 속력을 계산하였다. 여러 이론 식을 제시하였고, 이로부터 얻어진 이론 값과 측정 값을 비교하여, 표면 장력이 수면파에 강한 영향을 미친다는 사실을 확인하였다. 실험 과정에 있어, 관측자의 I-CA 프로그램 사용에 의한 오차, 표면 장력에 의한 오차, 카메라 촬영 프레임 속도에 의한 오차 등이 발생하였다. 각 오차의 영향 및 해결 방안을 제시하였고, 실험을 더욱 개선시킬 수 있음을 확인하였다.
1. 서론
1-1. 실험 목적
잔잔한 호수에 돌멩이를 던지면, 돌멩이가 떨어진 위치를 중심으로 하여금 동심원 형태의 파동이 생겨, 주위로 퍼져 나간다. 본 실험은 이와 같은 파동의 성질 및 파동과 관련된 다양한 이론을 실험을 통하여 확인한다. 특히, 파동의 반사 현상과, 여러 파동의 간섭, 장애물에 의하여 발생하는 파동의 회절 현상을 관찰한다.
1-2. 이론적 배경
1-2-1. 파동
평면 상에서 $+x$ 방향으로 진행하는, 진폭 $y _\text{max}$, 파수 $k$, 각진동수 $\omega$, 위상 $\phi$의 파동은
\[y(x, t) = y _\text{max} \sin \left( kx - \omega t + \phi \right)\]과 같이 표현할 수 있다.
진동수 $f$, 파장 $\lambda$과 $v$의 위상 속력을 가지는 파동은
\[\omega = 2 \pi f\] \[k \lambda = 2 \pi\] \[v = \frac{w}{k} = \frac{ 2 \pi f }{ \left( \frac{ 2 \pi }{ \lambda } \right) } = f \lambda\]가 성립함을 확인할 수 있다.
무리 속도 $v _g$는 여러 개의 중첩된 파동이 묶음 형태로 이동하는 속도를 의미하며
\[v _g = \frac{ \mathrm{d} \omega }{ \mathrm{d} k } = \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} k } \left( kv \right) = v + k \frac{ \mathrm{d} v }{ \mathrm{d} k } = v + \frac{ \mathrm{d} \lambda }{ \mathrm{d} k } \frac{ \mathrm{d} v }{ \mathrm{d} \lambda } = v + k \left( - \frac{ \lambda }{ k } \right) \frac{ \mathrm{d} v }{ \mathrm{d} \lambda } = v - \lambda \frac{ \mathrm{d} v }{ \mathrm{d} \lambda }\]가 성립한다.
매질은 크게 분산매질과 비분산매질로 구분할 수 있다. 후자는 위상 속력 $v$가 $k$ 또는 $\lambda$과 독립적인 매질을 뜻하며, $v _g = v$가 성립한다. 후자가 아닌 모든 매질은 전자에 속한다.
1-2-2. 파동의 합성
동일한 진동수 $\omega$를 가지나, 위상이 $0$과 $\phi$로 다른, 결맞는 두 개의 파동
\[y _1 (x, t) = y _\text{max} \sin \left( kx - \omega t \right)\] \[y _2 (x, t) = y _\text{max} \sin \left( kx - \omega t + \phi \right)\]를 생각하자. 이 둘을 합성한 파동은
\[y _{1+2} (x, t) = 2 y _\text{max} \cos \frac{ \phi }{ 2 } \sin \left( kx - \omega t + \frac{ \phi }{ 2 } \right)\]과 동치다. 여기서 파동의 진폭은 $\displaystyle 2 y _\text{max} \cos \frac{ \phi }{ 2 } $의 새로운 값을 가진다.
이와 유사하게, 파동 $y _1$과 이의 반사파 $\tilde{y _1}$
\[y _1 (x, t) = y _\text{max} \sin \left( kx - \omega t \right)\] \[\tilde{ y _1 } (x, t) = y _\text{max} \sin \left( kx + \omega t \right)\]를 생각하자. 이 둘의 간섭에 의한 합성 파동은
\[y _{1 + \tilde{1}} (x, t) = 2 y _\text{max} \cos \left( \omega t + \frac{ \phi }{ 2 } \right) \sin \left( kx + \frac{ \phi }{ 2 } \right)\]가 된다. 식에서 두 변수 $t$과 $x$가 분리되어 있음에서 알 수 있듯이, 파동 $y _{1+\tilde{1}}$는 진행하지 않는 정상파다. 따라서, 시각 $t$과 관계없이 항상 일정하게 밝거나 어두운 위치를 관찰할 수 있다. $\displaystyle \left( kx + \frac{\phi}{2} \right)$가 $\pi$의 정수배인 위치는 마디, $\displaystyle \left( kx + \frac{ \phi + \pi }{ 2 } \right)$가 $\pi$의 정수배인 위치는 배가 됨이 알려져 있다.[1, 2]
1-2-3. 수면파
유체와 공기 사이의 표면 장력을 무시할 때, 이상 유체에서 수면파의 위상 속력 $v$는
\[v = \sqrt{ \frac{ g \tanh \left( kh \right) }{ k } }\]임이 알려져 있다.[1] 만일 물이 충분히 얕아 $h < 0.05$가 성립한다면, $\tanh \left( kh \right) \approx kh$의 근사를 적용하여
\[v \approx \sqrt{ gh }\]로 충분히 좋은 간단한 근사식을 얻을 수 있다. 반대로, 물이 충분히 깊어 $0.5 \lambda < h$가 성립한다면, $kh$가 크므로 $\tanh \left( kh \right) \approx 1$의 근사를 사용할 수 있으며
\[v \approx \sqrt{ \frac{ g }{ k } }\]의 위상 속력 $v$의 근사식을 얻을 수 있다.
만일 파장 $\lambda$가 1mm scale 정도로 작다면, 표면 장력은 위상 속력에 지배적인 영향을 미친다.[3] 유체와 공기 사이의 표면 장력이 $\sigma$, 유체의 밀도가 $\rho$일 때
\[v = \sqrt{ \left( \frac{g}{k} + \frac{\sigma}{\rho} k \right) \tanh \left( kh \right) }\]가 됨이 알려져 있다.[3, 4] 본 실험에서는 유체로 물을 사용한다. 25℃의 물은 $\sigma _\text{water} = 0.07197 \text{N} \cdot \text{m}^{-1}$의 표면 장력과 $\rho _\text{water} = 997.07 \text{kg} \cdot \text{m}^{-3}$의 밀도를 가진다.
2. 본론
2-1. 실험 방법
2-1-1. 물리량 측정
수조의 크기 및 깊이, 장애물용 막대의 크기를 자와 버니어 캘리퍼스로 측정한다.
2-1-2. 실험 ① 수면파의 간섭 관찰 및 속력 측정
수조에 깊이 $\displaystyle \frac{2}{3}$ 지점까지 물을 채운 후, 수조의 수평을 맞춘다. 수조 아래에 흰 종이를 깔아 둔 후, 수조에 빛을 수직하게 비출 수 있도록 스트로보스코프를 설치한다. 수면파 발생 장치를 수면의 중앙에 설치한 후, 두 파원 사이의 거리가 약 5cm가 되도록 조절한다. 수면파의 주파수를 설정한 후, 작동시킨다. 수면파가 퍼져나가는 장면을 카메라로 촬영한 후, I-CA 프로그램을 이용하여 분석한다: 간섭 무늬가 선명하게 찍힌 프레임을 찾은 후, 보강·상쇄 간섭의 위치와 파원의 위치 사이의 거리를 측정하여 수면파의 파장을 알아낸다. 유사한 방법을 이용하여, 수면파가 선명하게 찍힌 프레임을 찾은 후, 네 프레임동안 수면파가 이동한 거리를 측정하여, 수면파의 속력을 계산한다.
위와 같은 과정을 14Hz, 15Hz, 16Hz에 대하여 각각 세 번씩 반복한다.
2-1-3. 실험 ② 수면파의 회절 관찰
실험 ①의 수조에 검은 막대 혹은 투명 막대의 장애물을 설치한다. 수면파 발생 장치를 이용하여 16Hz의 수면파를 생성한 후, 장애물 주변에서의 파형을 카메라로 촬영하여, 회절 현상을 관찰한다.
2-2. 실험 결과 및 데이터
본 보고서의 모든 측정 데이터는 모두 조교님의 것임을 밝힌다.
2-2-1. 실험 장비의 물리량
수조의 가로 및 세로 길이는 각각 48cm, 29cm이었다. 물의 깊이는 대략 2cm다. 장애물로 검은 막대와 투명 막대를 사용하였으며, 높이는 2cm로 동일하나, 너비는 각각 7cm, 5cm로 다르다.
2-2-2. 실험 ① 수면파의 간섭 관찰 및 속력 측정
위상차가 없는 진동수 14Hz, 15Hz, 16Hz의 수면파를 발생시켜 실험을 진행하였다. 각 실험에 대하여 보정 간섭 혹은 상쇄 간섭이 뚜렷하게 관찰되는 위치를 찾았고, 이와 파원과의 거리의 차이를 측정하였다. 또한, 파원에서 수면파가 퍼져 나가는 속도를, 네 프레임동안 수면파의 이동 거리를 측정하여 계산하였다. 이렇게 측정한 속도 값을 $v _\text{frame}$로 표기하자. 각 실험의 측정값을 표 1에 모두 정리하였다.
이를 바탕으로 파장비-경로차 그래프(그림 1)를 얻었다. 그래프의 추세선 기울기를 통하여, $\lambda _\text{14Hz} = 1.37 \text{cm}$, $\lambda _\text{15Hz} = 1.29 \text{cm}$, $\lambda _\text{16Hz} = 1.14 \text{cm}$의 파장을 얻었다.
표 1: 경로차, 파장비 및 가시적 수면파 속도 $v _\text{frame}$ 측정값
세 가지 진동수에 대하여 각각 세 번의 반복 실험을 시행하였다. $v _\text{frame}$의 단위는 $\text{m} \cdot \text{s}^{-1}$다.
| 진동수 (Hz) | 경로차 (m) | 파장비 (λ) | $v _\text{frame}$ |
|---|---|---|---|
| 14 | 0.0277 | 2 | 0.2127 |
| 0.0341 | 2.5 | 0.2158 | |
| 0.01363 | 1 | 0.2142 | |
| 15 | 0.02591 | 2 | 0.2520 |
| 0.02566 | 2 | 0.2048 | |
| 0.03225 | 2.5 | 0.2052 | |
| 16 | 0.01151 | 1 | 0.2355 |
| 0.01809 | 1.5 | 0.2103 | |
| 0.0284 | 2.5 | 0.2000 |
그림 1: 파장비-경로차 그래프
각 진동수에 대하여, (파장비, 경로차)를 점으로 표현한 후 일차 추세선을 계산하여 표기하였다. 추세선의 기울기가 파장을 m 단위로 읽은 값이 된다.
수면파의 속력을 다음 세 가지 식을 이용하여 계산하였고, 이를 $v _\text{frame}$과 비교하여, 표 2에 정리하였다:
\[v _\text{(i)} = f \lambda\] \[v _\text{(ii)} = \sqrt{ \frac{g}{k} } = \sqrt{ \frac{ g \lambda }{ 2 \pi } }\] \[v _\text{(iii)} = \sqrt{ \frac{g}{k} + \frac{\sigma}{\rho} k } = \sqrt{ \frac{ g \lambda }{ 2 \pi } + \frac{ 2 \pi \sigma }{ \rho \lambda } }\]표 2: $v _\text{frame}$과 세 가지 방법으로 계산한 수면파의 속력 및 오차율 (속력 단위: $\text{m} \cdot \text{s}^{-1}$)
각 주파수에 대하여, 세 가지 식을 이용하여 수면파의 속력을 계산하였다. 가시적 속력 측정값인 $v _\text{frame}$과의 오차율을 하단에 표기하였다. 오차율이 가장 작은 방법과 가장 큰 방법을 각각 초록색과 빨간색으로 표시하였다. (주: Markdown의 한계로 셀에 색을 입히지 못한다. $v _\text{(ii)}$ 열이 모두 빨간색, $v _\text{(iii)}$ 열이 모두 초록색이라고 생각하라.)
| $f$ | $v _\text{frame}$ | $v _\text{(i)}$ | $v _\text{(ii)}$ | $v _\text{(iii)}$ |
|---|---|---|---|---|
| 14 Hz | 0.2142 | 0.1918 | 0.1462 | 0.2334 |
| 10.48% | 31.75% | 8.95% | ||
| 15 Hz | 0.2207 | 0.1935 | 0.1419 | 0.2351 |
| 12.31% | 35.69% | 6.56% | ||
| 16 Hz | 0.2153 | 0.1824 | 0.1334 | 0.2400 |
| 15.27% | 38.04% | 11.46% |
표 2에서 알 수 있듯이, 모든 주파수에 대하여 다음 관계식이 성립하였다:
\[v _\text{(ii)} < v _\text{(i)} < v _\text{frame} < v _\text{(iii)}\]전반적으로 파장 $\lambda$의 값이 작게 측정되었다. 또한, $v _\text{frame}$의 값이 $v _\text{(ii)}$과 $v _\text{(iii)}$ 사이에 위치함을 통하여, 본 실험에서 표면 장력은 수면파 속력에 충분한 영향을 미쳤음을 알 수 있다. 이는 표면 장력을 고려한 $v _\text{iii)}$의 오차율이 가장 작았음을 통하여 재확인할 수 있었다.
2-2-3. 실험 ② 수면파의 회절 관찰
검은 막대 또는 투명 막대를 장애물로써 설치한 후, 수조의 중앙에서 16Hz의 점 파원을 발생시켜, 파동의 양상을 관찰하였다. 그림 2와 같이, 장애물의 양쪽 끝에서는 회절이 발생하였고(c-1, c-2), 장애물의 면에 부딪힌 파동은 반사되어 반대 방향으로 진행하였다(c-3). 회절이나 반사에 의하여 수면파의 속력 및 파장은 크게 변화하지 않았다. 검은 막대와 투명 막대는 길이의 차이밖에 없었기 때문에, 파동의 양상에서 큰 차이를 보이지 않았다.
그림 2: 장애물에 의한 파형의 변화
투명 막대를 설치한 후, 파동을 발생시켰을 때의 사진이다. (a)는 파원의 위치, (b)는 막대의 그림자를 의미한다. (c)과 (d)는 막대 주위의 파동이다. (d)는 일반적인 방향으로 진행하는 파동인 반면에, (c)는 장애물에 영향을 받은 파동이다. (c-1)과 (c-2)에서는 회절을, (c-3)는 반사가 관찰되었다.
2-3. 오차 분석
본 절에서는 실험에서 얻은 측정 값에서 발생한 오차에 대하여 다룬다. 오차 발생 원인을 분석하고, 이러한 오차를 줄이는 방법 및 개선 방안에 대하여 논의한다.
2-3-1. I-CA 프로그램을 사용함에 있어 발생하는 오차
본 실험에서 경로차나 $v _\text{frame}$를 계산하기 위하여, 보강 간섭의 위치나 상쇄 간섭의 위치와 같이, 수면파의 특정한 지점들 사이의 길이를 측정하였다. 이러한 과정을 측정자가 손으로 진행하면서 치명적인 오차가 발생하였다.
첫째로 파원이나 간섭의 위치를 눈으로 명확하게 구별하는 것이 어려웠다. 수면파 발생 장치는 구슬을 상하로 진동하여 파동을 발생시키는데, 구슬의 어느 위치를 파원으로 고려해야 하는지, 구슬의 중심이 그림자에서 어디인지 확인하는 작업은, 측정자의 한계로 정확하게 진행할 수 없었다. 마찬가지로 가장 강한 간섭이 발생하는 위치를 눈으로 판단하여야 하기에, 실제 위치와는 다소 차이가 발생하였다. 이러한 요인으로 약 ±1mm의 좌표 오차가 발생하였다.
둘째로 광원을 완벽하게 수직으로 설치하지 않아, 그림자에서 위치의 뒤틀림이 발생하였다. 5° 기울어진 광원으로 2cm 깊이의 수면에서 1mm 진폭의 파동을 관찰한다면, 실제 위치와 그림자 위치 사이에서 약 ±3mm의 좌표 오차가 발생한다.
경로차에서 $\varepsilon$의 오차가 발생할 때, 파장의 오차를 수치적으로 분석하자. 그림 1의 그래프의 좌표를 $\left( x _i , y _i \right)$라고 하자. 변수 $y _i$는 독립적으로 의 오차가 발생한다. 파장 변수 $\lambda$는 선형 회귀 공식에 의하여
\[\lambda = \frac{ \sum _i x _i y _i }{ \sum _i x _i ^2 }\]로 정해진다. 따라서 $\lambda$의 오차는
\[E ( \lambda ) = \frac{ E \left( \sum _i x _i y _i \right) }{ \sum _i x _i ^2 } \le \frac{ \sum _i x _i E \left( y _i \right) }{ \sum _i x _i ^ 2 } = \frac{ N }{ \sum _i x _i } \varepsilon = \frac{ \varepsilon }{ \overline{ x } }\]다. 본 실험에서는 $N=3$, $\overline{x} \approx 2$이므로, $E(\lambda) = 2$다. ±4mm의 좌표 오차는 약 2.8mm의 파장 오차를 야기하였고, 이는 22%의 오차에 해당한다.
이러한 오차를 줄이기 위하여 다음을 고려해볼 수 있다: 좌표의 오차를 줄이기 위하여, 광원과 카메라의 각도가 수직이 되도록 조절하고, 구슬의 직경이 작은 수면파 발생 장치를 사용할 수 있다. 또한 빛의 밝기를 픽셀 단위로 분석하여 간섭의 위치를 픽셀 수준으로 결정하는 방법이 있다. 선형 회귀 오차를 줄이기 위하여, 파장비가 큰 데이터 측정을 많이 시행하여야 한다. 이를 시행하기 위해서는 반사파의 영향을 적게 받는 충분히 큰 수조를 사용하여야 한다.
2-3-2. 표면 장력에 의한 오차
7cm 이하의 파장을 가지는 수면파에서 표면 장력과 유체의 밀도는 속력에 유의미한 영향을 미친다는 사실이 알려져 있다.[3, 4] 물의 밀도는 온도에 큰 영향을 받지 않으나, 표면 장력은 5℃마다 1.5%의 오차가 발생한다. 계산 과정에서 수온을 25℃로 가정하였으나, 실제 실험 과정에서 수온 측정이나 표면 장력 측정을 진행하지 않았기 때문에, 이에 의하여 $v _\text{(iii)}$의 값에 오차가 발생할 수 있다. 가볍게는 수온 측정을 진행하거나, 실험에 사용하는 물이 증류수와는 다름에 유의하여 표면 장력 측정 실험을 추가적으로 진행함으로써 이러한 오차를 줄일 수 있다.
2-3-3. 카메라 프레임 속도와 파동의 진동수 간의 차이로 인한 오차
본 실험에서 사용한 카메라는 60fps로 촬영하나, 수면파는 14~16Hz의 속도로 생성되었다. 즉, 카메라는 $\displaystyle \frac{1}{60}$초 간격으로 촬영을 하나, 수면파 발생 장치의 진동 주기는 $\displaystyle \frac{1}{14}$, $\displaystyle \frac{1}{15}$, $\displaystyle \frac{1}{16}$초이므로, 분모가 60의 약수가 아닌 14Hz 및 16Hz에서는 영상 분석에서 관찰 시점의 파동의 위상이 일정하지 않아, $v _\text{frame}$ 측정에서 오차가 발생할 수 있다. 실험에 사용하는 진동수(Hz)를 60의 약수인 10, 12, 20를 사용하거나, 카메라의 촬영 fps를 조절함으로써 이러한 문제를 해결할 수 있다.
2-3-4. 반사파로 인한 오차
측정 과정에서 수조의 벽에 의하여 반사된 파장은 수면파의 무늬에 변화를 일으키기 때문에, $v _\text{frame}$과 경로차에 영향을 미친다. I-CA 프로그램에서 간섭파가 약한 프레임 구간만을 사용하거나, 수조의 테두리에 스폰지 등을 설치하여 반사파의 영향을 최소화함으로써 이러한 문제를 해결할 수 있다.
3. 결론
본 실험에서는 간섭과 회절과 같은 파장의 여러 특성을 관찰하였다. 간섭이 발생한 위치와 파원과의 거리를 측정하여, 수면파의 파장과 속력을 계산하였다. 또한 다양한 이론 식을 통하여 얻은 이론 값과 측정 값을 비교함으로써, 표면 장력이 수면파에 강한 영향을 미침을 알아내었다. 측정 및 계산에 있어 다양한 요인의 오차가 발생하였다. 이러한 오차의 원인으로 관측자의 I-CA 프로그램 사용, 표면 장력, 카메라 프레임 속도 등을 제시하였다. 각각의 오차를 해소할 수 있는 명확한 해결 방법이 있기 때문에, 충분히 개선될 수 있으리라 예상된다.
4. 참고 문헌
[1] Halliday. et al, “일반물리학”, 개정10판, John Wiley & Sons, Inc.
[2] 서울대학교 물리학실험 매뉴얼, “실험 1-6 파동 - 어디에서 왔다가 어디로 가는가”. Retrieved 15 June 2020.
[3] Nordling, C., & Östermalm, J. (2006), Physics Handbook for Science and Engineering (eighth edition). Studentlitteratur: Sweden, p. 263.
[4] Lighthill, M. J. (1978), Waves in fluids. Cambridge University Press, p. 224-225.